更新时间：2024-09-21 03:06
随机微分方程（英语：SDE, stochastic differential 方程）是常微分方程的扩展，其项是随机过程，解也是随机过程。它描述了一个随机变数的变动过程，即常微分方程加上一个白噪音项。由于随机过程函数本身的导数不可定义，传统解微分方程的概念不适用于随机微分方程。SDE在纯粹数学中有广泛应用，如模拟股价、随机增长模型或受热涨落影响的物理系统等随机模型的行为。随机微分方程的概念最早由阿尔伯特·爱因斯坦在论文中提出，并由保罗·朗之万继续研究。伊藤清和鲁斯兰斯特拉托诺维奇等人后来完善了随机微分方程的数学基础。随机微分方程的解是一随机过程函数，但解方程需要先定义随机过程函数的微分。最常见的定义为伊藤积分，它是在金融数学中常用的随机微分方程形式。
随机微分方程源于爱因斯坦和Marian Smoluchowski提出的布朗运动理论，而Louis Bachelier是第一个建立布朗运动模型的人，给出了一个非常早期的SDE实例，即现在所谓Bachelier模型。早期的SDE例子是线性的，也称为保罗·朗之万方程，描述了谐振子在随机力作用下的运动。伊藤清在1940年代发展了SDE的数学理论，提出了随机分析的概念，并开启了非线性随机微分方程的研究。后来，Ruslan Stratonovich提出了另一种方法，产生了类似于普通微积分的随机积分。
在文献中，SDE最常见的形式是常微分方程，右式由一个取决于白噪音变量的扰动项。大多数时候SDE被理解为相应随机差分方程的连续时间极限，这种理解是模糊的，必须辅以相应积分的适当数学定义。这种数学定义由伊藤清提出，产生了伊藤积分。后来，Ruslan Stratonovich提出了另一种构造，即所谓随机积分，与伊藤积分是相关但不同的对象，选择取决于具体应用。伊藤积分以非预期性或因果性概念为基础，这在以时间为变量的应用中很自然。而随机积分的规则则与普通微积分相似，且具有内在的几何特性，使它在处理流形上的随机运动等问题时更自然。尽管通过伊藤SDE来模拟流形上的随机运动也是可能的，且有时更可取，例如在试图优化逼近子流形上的SDE时。
布朗运动或维纳过程在数学上异常复杂：维纳过程几乎肯定不可微，因此要有自己的分析规则。随机分析有伊藤积分和随机积分两个版本，各有利弊，初学者往往搞不清楚特定问题用哪个更合适。有些指南(e.g. Øksendal, 2003)，人们可以很方便地将伊藤SDE变换为等价的随机SDE，反之亦然。不过，最初写下SDE时还是要决定使用哪种积分。
解SDE的数值方法有欧拉-丸山法、米尔斯坦法和Runge–Kutta法等。这些方法允许我们在计算机上模拟SDE的行为，从而在物理学、金融数学等领域中进行实际应用。
物理学中，SDE具有广泛的适用性，从分子动力学到神经动力学，再到天体动力学，不一而足。SDE描述了所有动力系统，其中量子效应要么不重要，要么可以作为扰动加以考虑。SDE可被视为动力系统理论对有噪模型的一种概括，这很重要，因为实际系统不可能与其环境完全隔离，总会受外部随机影响。
概率论及其在金融数学中的应用，使用的符号略有不同。在这些领域中，SDE用于模拟如股价这样的随机过程。例如，几何布朗运动方程是金融数学中布莱克-舒尔斯模型中的股价动态方程。此外，SDE还可以处理金融数学中所谓波动性微小的模型。
在SDE的超对称理论中，随机动力是通过作用于模型相空间微分形式的随机演化映射定义的。所有SDE都具有拓扑超对称性，即通过连续的时间流保持相空间连续性。这种超对称的自发破缺是混沌、湍流、自组织临界性等诸多动力现象的数学本质。
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