二项式系数是牛顿二项式定理中的一个概念。

1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了展开式。二项式定理(二项式 Theorem)是指(a+b)^n在n为正整数时的展开式。(a+b)^n的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数Cnr(r∈{0，1，2，……，n})叫做二项式系数。

二项式系数在数论，图论，统计和概率等数学分支扮演重要角色。

定义

一般二项式(x + y)ⁿ的幂可用二项式系数记为。广义二项式定理把这结果推广至负数或非整数次幂，此时右式则不再是多项式，而是无穷级数。

二项式系数对组合数学很重要，因它的意义是从n件物件中，不分先后地选取k件的方法总数，因此也叫做组合数。从定义出发，把n个(1+x)项的乘积展开，其中任意k项的x和n−k项的1相乘得出一个x，故此x的系数是从n个选取k个的方法总数。把各项的x标记可以更清楚看出：当n=4, k=2时，

，所以x的系数6等于从4项物件选取2项的方法总数。

二项式系数是杨辉三角的第n+1行从左起第k+1个数，它最先由杨辉发现。

可以由其公式证出，也可以从其在组合数学的意义推导出来。如第一式左项表示从n+1件选取k件的方法数，这些方法可分为没有选取第n+1件，即是从其余n件选取k件；和有选取第n+1件，即是从其余n件选取k−1件。而第二式则是每个从n件选取k件的方法，也可看为选取其余n−k件的方法。

二项式定理

二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。此定理指出：其中，二项式系数指... 等号右边的多项式叫做二项展开式。二项展开式的通项公式为 其i项系数可表示为：见图右，即n取i的组合数目。因此系数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle) 二项式定理(二项式 Theorem)是指(a+b)n在n为正整数时的展开式。(a+b)n的系数表为： 1 n=0 1 1 n=1 1 2 1 n=2 1 3 3 1 n=3 1 4 6 4 1 n=4 1 5 10 10 5 1 n=5 1 6 15 20 15 6 1 n=6 ………………………………………………………… （左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和）

发现历程

在我国被称为贾宪三角或杨辉三角，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中。在阿拉伯数学家卡西的着作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为帕斯卡三角形，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年。 1665年，艾萨克·牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了的展开式。二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。

性质

对称性

与首末两段“等距离”的两个二项式系数相等。即。

单峰性

是单峰序列。

（1）当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值。

（2）当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。

二项式系数的和

排列与组合

1、Cn0+Cn1+Cn2…+Cnk+…+Cnn=2^n 2、Cno-Cn1+Cn2-Cn3+……(-1)^nCnn=0 3、Cn0+Cn2+Cn4+……=Cn1+Cn3+Cn5+……=2^(n-1) 证明：由(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n 当a=b=1时，代入二项式定理可证明1 当a=-1，b=1时代入二项式定理可证明2 4.组合数的性质： （1）：C(m，n)=C（n-m，n） （2）：C（m，n+1）=C（m，n）+C(m-1，n) （3）：C（0，n）=C（n，n）=1 二项式定理二项式定理：叫二项式系数（0≤r≤n）.通项用Tr+1表示，为展开式的第r+1项，且, 注意项的系数和二项式系数的区别。二项式定理的通项公式Tr+1=C（n，r）a^（n-r）b^r 系数性质①对称性： ②增减性和最大值：先增后减 n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为：Tn/2+1 n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为：T(n+1)/2，T[(n+1)/2+1] 赋值法掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想. 证明：n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。所以（a+b）^n的展开式中每一项都是)a^k*b^(n-k)的形式。对于每一个a^k*b^(n-k)，是由k个(a+b)选了a,（a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角一个数））。（n-k）个(a+b)选了b得到的（b的系数同理）。由此得到二项式定理。二项式系数之和: 2的n次方 而且展开式中奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和等于2的(n-1)次方

二项式定理的推广

二项式定理推广到指数为非自然数的情况：形式为 注意：|x|\u003c1 (a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n