更新时间：2024-09-20 12:31
杨辉三角是将若干数字按照一定规律排列成三角形的数表，每一行最外侧的数字都是1，中间的数字等于它肩膀上的两数之和。杨辉三角每一行的数刚好对应二项式展开后的系数，实际上是一张二项式系数表。杨辉三角在1261年杨辉所著的《详解九章算法》已经出现，最初被称为“开方作法本源图”，后人简称为“杨辉三角”。杨辉三角有许多重要的性质，在数列求和等方面具有重要应用。
杨辉三角是中国南宋时期数学家杨辉在其1261年所著的《详解九章算法》一书中记载的一张数表，最早被称为“开方作法本源图”。杨辉同时说明此表转载自11 世纪中叶北宋数学家贾宪(约1050年)的《释锁算术》，遗憾的是该著作已经失传。所以，贾宪是世界上最早构造出二项式系数表的数学家，而杨辉将其写在著作中并最终流传下来。在元代朱世杰的《寺院玉鉴》，明代吴敬的《九章算法比类大全》的著作中也有相关记载。在欧洲，杨辉三角被称为帕斯卡三角（Pascal's Triangle），因法国数学家布莱士·帕斯卡（Blaise Pascal）在1653年记载了此三角形。
杨辉三角是将若干数字按照一定规律排列成三角形的数表，每一行最外侧的数字都是1，中间的数字等于它肩膀上的两数之和。这些数字在中国史料中有具体的名称。根据杨辉的记载，贾宪将左右斜线上的数字“1”分为“积数”（左积）和“隅算”（右隅），将这两行斜线数字称为“廉”，开几次方,就用相应行的廉。例如，第三行为“2”是开平方的廉；第四行“3、3”是开三次方的廉；第五行“4、6、4”是开四次方的廉等等。“积”“隅”“廉”都是中原地区古代开方术语。
杨辉三角实际上是一张二项式系数表，即二项式展开的各项系数展开后对应各项的系数。如果首行记为第零行，那么第行左起第个数也就是将展开后项对应的系数，也就是。例如，第四行第2个数对应的是展开后项的系数，也就是3。这里涉及的也就是组合数，即
根据二项式的定理有，其中的两个肩正好分别为和，符合杨辉三角组成的规律，也是杨辉三角最基本的性质。
首行记为第零行，杨辉三角有以下主要性质。
3斜列的第3个数字也为6。这与组合数的以下性质是等价的。
第一个数：1
第二个数：1
第三个数：1+1=2
第四个数：1+2=3
第五个数：1+4+3=8
这些数字构成的数列称为斐波那契数列。若某个数列前两项为1，从第三项开始，任意一项均为前两项之和，则该数列称为斐波那契数列，即
。
杨辉三角在弹子游戏、高阶等差数列求和、三项式定理、循环计数、无穷级数、倒数级数等方面都有重要的应用。
如右图所示，在一块木板上钉一些正六棱柱形的小木块，在它们中间留下些通道，通道最从上面的漏斗可以直通到底部的长方形框子。如果把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层(有几个竖直通道就算第几层)的六棱柱上面，而后继续落到第二层中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里边去，依此类推，最后落到底部的长方形框子。由于正六棱形木块结构对称，选择任何一个通道的概率是相等的。假设在木板上做了层通道,在顶上的漏斗里一共放了颗弹子，让它们自由掉到底部个长方形框子里。在这个场景中，底部每个长方形框子分别获得的弹子数的期望值依次为：，正好是杨辉三角的第行。
利用杨辉三角的第7个性质可以使用组合数形式表示：
利用上述公式可以得到一些结论。例如，
当时，可得
当时，可得
利用这些结论可以计算一些高阶等差数列问题。
（1）求数列的前项和。
先进行变换，有，即可以利用上述结论（）。
（2）求数列的前项和。
先进行变换，有，即可以利用上述结论（和）。