在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得

P-1AP=B

则称矩阵A与B相似，记为A~B。

定义

设都是阶矩阵，若存在可逆矩阵，使，则称B是A的相似矩阵,并称矩阵与相似，记为。

对进行运算称为对进行相似变换，称可逆矩阵为相似变换矩阵。

矩阵性质

对于

设和是任意同阶方阵，则有：

（1）反身性：

（2）对称性：若，则

（3）传递性：若，，则

（4）若，则，，。

（5）若，且可逆，则也可逆，且。

（6）若，则与

• 两者的秩相等；

• 两者的行列式值相等；

• 两者的迹数相等；

• 两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同；

• 两者拥有同样的特征多项式；

• 两者拥有同样的初等因子。

（7）若与对角矩阵相似，则称为可对角化矩阵，若阶方阵有个线性无关的特征向量，则称为单纯矩阵。

（8）相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。

定理

定理1

阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵有个线性无关的特征向量。

注：定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

（1）求出全部的特征值；

（2）对每一个特征值，设其重数为,则对应齐次方程组的基础解系由个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；

（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

推论1

若阶矩阵有个相异的特征值，则与对角矩阵相似。

对于阶方阵，若存在可逆矩阵，使其为对角阵，则称方阵可对角化。

定理2

阶矩阵可对角化的充要条件是对应于的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即设是矩阵的重特征值。

定理3

对任意一个阶矩阵，都存在n阶可逆矩阵T使得即任一阶矩阵都与阶约当矩阵相似。

判断方法

判断两个矩阵是否相似的辅助方法：

（1）判断特征值是否相等；

（2）判断行列式是否相等；

（3）判断迹是否相等；

（4）判断秩是否相等。

以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件，而非充分条件。

（两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。）

应用

（1）利用矩阵对角化计算矩阵多项式；

（2）利用矩阵对角化求解线性导数方程组；

（3）利用矩阵对角化求解线性方程组。

参考资料