更新时间：2023-11-07 10:23
空集公理（axiom of empty set），是ZF公理系统的集合论公理之一。该公理断言：有一个无任何元的集合，它是空的集合，形式表示为：∃A∀x:¬(x∈ A)。
19世纪，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）系统地总结了长期以来数学界对集理论的认识与实践，开创了新的数学学科——集合论，为经典数学的各个分支提供了共同的理论基础。1902年，英国数学家伯特兰·阿瑟·威廉·罗素（Russell）发现了集合论悖论，由于所涉及的概念都是朴素集合论的基本概念，因而震动了整个数学界，引起了数学史上第三次危机。为了消除悖论，大家普遍认为可以采用公理化的方法对集合做一些必要的限制。1908年，数学家恩斯特·策梅洛（Zermelo）给出了第一个集合论公理系统，现在人们称它为Z系统。在Z系统中空集公理与配对公理合称为初等集合公理。1922年，德国数学家弗兰克尔（Fraenkel）对Z系统进行了改进，后经斯柯伦（Skolem）重述，形成了ZF公理系统。在ZF公理系统中，包括空集公理等9条公理，再加上选择公理，形成了ZFC公理系统。
空集公理肯定了空集的存在性，ZF公理系统中试图由空集公理和无穷性公理定义自然数。该公理系统还包括一些其他公理，它们不是各自独立的，其中子集公理可由替换公理模式和空集公理推出，空集公理本身也不独立。在其他的公理系统中，空集公理同样存在，如在MS系统中，它可以表示为：├∃b(W(b)∧∀x(x ∉ b))。
空集公理断言：一个无任何元的集合，它是空的集合。可表示为：。
意义：该公理肯定了空集的存在性。同时，ZF公理系统试图由空集公理和无穷性公理定义自然数。然后从自然数出发，通过代数过程构造整数系、有理数系、实数系，这些在ZF公理系统中都能实行。ZF的每个标准模型都可以有一个与实数集相像的子集。这样一来，只要证明系统的无矛盾性，微积分理论的基础即可解决。
19世纪，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）系统地总结了长期以来数学界对集理论的认识与实践，开创了新的数学学科——集合论，为整个经典数学的各个分支提供了共同的理论基础。1902年，英国数学家伯特兰·阿瑟·威廉·罗素（Russell）发现了集合论悖论，由于所涉及的概念都是朴素集合论的基本概念，因而震动了整个数学界，引起了数学史上第三次危机。
由于当时戴维·希尔伯特（Hilbert David）刚为欧氏几何学成功地建立了公理系统，为了消除悖论，大家普遍认为可以采用公理化的方法对集合做一些必要的限制。1908年，数学家恩斯特·策梅洛（Zermelo）给出了第一个集合论公理系统，现在人们称它为Z系统。在该系统中，空集公理与配对公理合称为初等集合公理。1922年，德国数学家弗兰克尔（Fraenkel）对Z系统进行了改进，后经斯柯伦（Skolem）重述，形成了ZF公理系统。在ZF公理系统中，包括空集公理等9条公理，再加上选择公理，形成了ZFC公理系统。
定义：空集是不含有任何元素的集合，符号为，对于任意集合 ，都有，即空集是任何一集合的子集。从空集公理肯定了空集的存在性以后，又从外延性公理知道这种空集是唯一的。因为，一个集合是完全由它的元所确定，如果、是两个空集，则从外延性公理得知它们是相等的，所以也就恰有一个空集。
ZF公理系统的展开是形式化的，它是以带等词“”和隶属关系“”的狭谓词演算为基础，加上关于集合基本性质的非逻辑公理组成的形式演绎体系。它包括外延公理、空集公理、配对公理、并集公理、幂集公理、子集公理、无穷性公理、替换公理模式、正则性公理，如果加上选择公理AC，得到的系统就是ZFC（ZF+AC）。ZF的公理可以分为两类：一类是刻画集合性质的公理，如外延公理等；另一类是刻画集合存在的公理，如空集公理等。ZFC公理系统中的公理不是各自独立的，其中子集公理可由替换公理模式和空集公理推出，空集公理也不独立。
如果的每个元素都是的一个元素，并且的每个元素也是的一个元素，那么。
形式表示：。
子集公理也称分离公理、概括公理，其本质上是一个公理模式。
令是的一个性质。对任意的集合，存在一个集合 ，使得当且仅当 并且 。
形式表示：。
配对公理也称对集公理、无序对公理，对任意的集合和，存在一个集合，使得当且仅当或者。
形式表示：。
对任意的集合，存在一个集合，使得当且仅当对某个，。
形式表示：。
对任意的集合，存在一个集合，使得当且仅当。
形式表示：。
存在一个归纳集。
形式表示：。
令是一条性质，并且对每个存在唯一的使得成立。对每个集合，存在集合，使得对每个，存在使成立。
形式表示：。
正则性公理也称基础公理，所有的集合都是良基的。
形式表示：。
对于每个集合系统都有一个选择函数。
形式表示：，其中：可表述为：。
BG系统亦称GB系统，由约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）于1925年提出，后经伯尔奈斯（Bernays）和库尔特·卡塞雷斯（Kurt Gödel）改进和简化而形成。该系统和ZF公理系统的不同主要体现在：（1）NBG系统区分“集合”和“类”，能作其他集合或类的元素是集合，不能作其他的类的元素的类，叫做真类。NBG系统对类和集合使用两种变元。（2）NBG系统的公理是有穷的。在ZF公理系统和NBG系统之间的联系主要体现在：（1）所有ZF公理系统的定理都是NBG系统的定理；（2）NBG系统中关于集合（不说及类）的定理都是ZF系统的定理；（3）ZF是协调的，当且仅当NBG是协调的。
修正的NBG系统中的空集公理：。该公理是说，任一类（含集合）的补还是一类。空集是一类，根据该条公理，可得真类也是类，且知是的补类。
通常把中介公理集合论系统简记为MS。MS系统在中介原则和泛概括公理观点下，不仅承认中介对象的存在，同时还接受模糊造集谓词的使用。因而MS不仅研究和处理精确性量性对象，同时还接受和处理模糊性量性对象，其有可能为研究精确现象的经典数学和研究模糊现象的不确定性数学提供一个理论基础。MS系统和ZFC公理系统具有一定的联系，只要对MS系统的个体与谓词加以必要的限制，就能把ZFC中除正则性公理以外的每一条公理都作为MS的定理而证明。整个精确性经典数学也可奠基于MS并产生于MS。
MS系统中的空集公理：。