更新时间：2024-09-20 16:37
第n个数的立方数指可以写成n3的数，当中n必为整数。立方数是边长n的立方体的体积。作为算术用语的“立方”，表示任何数n的三次幂。
毕达哥拉斯把立方数摆成一种“馨折形”的数。他先在正方形格子里放上石子，放的方法是最上面一行和最左边一列都按1、2、3、……来放石子。其他空格中的石子数，等于对应的最上面一行和最左边一列两格石子数的积。然后把正方形格分割成若干个拐角形，这种拐角形就叫“馨折形”。
他发现，每一个馨折形中所有数的和一定是一个立方数：
上面整理得：
;
;
;
立方数可以通过连续奇数的和来表示，这是因为每个立方数都是一系列连续奇数的和。
上面整理得：
如果一个立方数等于三个立方数之和，那么它们组成的系统就是完美立方数
譬如下面的第二行
半立方数为一个立方数的一半。
譬如 半立方
两个立方数的和不可能为一立方数；
宇宙只存在一个数26,他是夹在一个平方数[25是5的平方]与一个立方数中间[27是3的立方]；
立方质数的定义为，其中或
1. 五角数中仅有立方数1；
2. 和平方数不同，立方数可存在负数；
3. 虽然形状不同，每个立方数第n个立方数同时都是第n个六角锥数，即首n个中心六边形数之和。
4. 首n个正立方数之和为（n(n+1)/2)²，即第n个三角形数的平方。
5. 每个整数均可表示成9个或以下的正立方数之和。（华林问题）
6. 1939年，狄克森证明只有23和239须用9个正立方数。
7. 只有一组连续三个立方数之和亦是立方数，就是3, 4, 5的立方，其和等于6的立方。
8. 在十进制，除了1之外，仅有4个的正整数其数字立方之和等同它本身，它们为153, 370, 371, 407，他们是n=3的自恋数。这4个三位数，亦可视为将它的数字分成三份，每份的立方之和，相似性质的整数有无限个，如165033, 221859, 336700等。
x³+y³+z³=k的整数解
方程x³+y³+z³=3除了有4组解(1,1,1),(4,4,-5),(4,-5,4),(-5,4,4)以外，是否还有其它整数解？
方程x³+y³+z³=33有整数解(8866128975287528,-8778405442862239,-2736111468807040)
方程x³+y³+z³=42有整数解(-80538738812075974,80435758145817515,12602123297335631)
方程x³+y³+z³=114是否有整数解？
立方质数的定义为(x³-y³)/(x-y)，其中x=y+1或x=y+2。除了0以外，立方数不可能是普洛尼克数。除了0以外，立方数也不可能是连续若干个（至少两个）数的积。除了0，1，8以外，立方数不可能是费波那契数。除了1以外，立方数也不可能是卢卡斯数。除了0，1以外，立方数不可能是佩尔数。除了0，1以外，立方数不可能是三角形数、五角数等多边形数。除了1以外，立方数不可能是中心平方数、中心五边形数等中心多边形数。除了1，8以外，立方数也不可能是斯塔尼斯拉夫·乌拉姆数列出现的数。除了1，226981（61的立方）以外，立方数不可能是星数。除了1以外，立方数在杨辉三角形只出现二次。除了0000和9999以外，立方数末4四位数不可能相同。立方数不可能是楔形数、半质数。0以外的立方数每一位数数字相加之和，不停重复地相加到剩一位数时必定是 1, 8, 9。是否在相继立方数之间存在一个素数这一命题，对1000000000000以内的数目是正确的。立方数是模任何整数的三次剩余；另外，如果某个整数是模任何整数的三次剩余，那么它一定是立方数。立方数的正因数个数一定是3的倍数加1。