阿贝尔定理表示，如果当时，幂级数收敛，则对于适合不等式的一切，该级数绝对收敛；反之，当时，级数发散，则对于适合不等式的一切，该级数发散。

此外，由阿贝尔定理可得到推论，如果幂级数既有非零的收敛点，又有发散点，则必存在一个正数，使得当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当时，幂级数可能收敛，也可能发散。

在阿贝尔定理推论的基础上，可以给出幂级数收敛半径和收敛区间的定义，即满足阿贝尔定理推论的条件的正数叫作幂级数的收敛半径，开区间叫作幂级数的收敛区间。

定理定义

这个公式公布不到两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。当时数学家们非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也找不出这样的求根公式。

这样的求根公式究竟有没有呢？年轻的挪威数学家尼尔斯·阿贝尔做出了回答：“没有。”阿贝尔从理论上予以证明，无论怎样用加、减、乘、除及开方运算，无论将方程的系数怎样排列，它都决不可能是一般五次方程的求根公式。

阿贝尔率先解决了这个引人瞩目的难题。所以成为阿贝尔定理

定理1（阿贝尔第一定理）

（1）若幂级数① 在收敛，则幂级数①在都绝对收敛。（2）若幂级数① 在发散，则幂级数①在都发散。

定理推广

如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的正数R存在，使得

当时，幂级数绝对收敛；

当 时，幂级数发散；

当时，幂级数可能收敛也可能发散。

定理2

有幂级数①，即，若

则幂级数①的收敛半径为

定理3（阿贝尔第二定理）

若幂级数①的收敛半径，则幂级数①在任意闭区间 都一致收敛。

性质1

若幂级数与的收敛半径分别是正数与，则

性质2

若幂级数的收敛半径，则它的和函数在区间连续。

性质3

若幂级数的收敛半径,则它的和函数由0到x可积，且可逐项积分，即

性质4

若幂级数的收敛半径,则它的和函数在区间可导，且可逐项导数

参考资料

尼尔斯·亨利克·阿贝尔与椭圆函数

椭圆函数是从椭圆积分来的。早在18世纪，从研究物理、天文、几何学的许多问题中经常导出一些不能用初等函数表示的积分，这些积分与计算椭圆弧长的积分往往具有某种形式上的共同性，椭圆积分就是如此得名的。19世纪初，椭圆积分方面的权威是法国科学院的耆宿、德高望重的勒让得（A.M.Legen-dre，1752－1833）。他研究这个题材长达40年之久，他从前辈工作中引出许多新的推断，组织了许多常规的数学论题，但他并没有增进任何基本思想，他把这项研究引到了“山重水复疑无路”的境地。也正是鲁道夫·阿贝尔，使勒让得在这方面所研究的一切黯然失色，开拓了“柳暗花明”的前途。

关键来自一个简单的类比。微积分中有一条众所周知的公式上式左边那个不定积分的反函数就是三角函数。不难看出，椭圆积分与上述不定积分具有某种形式的对应性，因此，如果考虑椭圆积分的反函数，则它就应与三角函数也具有某种形式的对应性。既然研究三角函数要比表示为不定积分的反三角函数容易得多，那么对应地研究椭圆积分的反函数（后来就称为椭圆函数）不也应该比椭圆积分本身容易得多吗？

“倒过来”，这一思想非常优美，也的确非常简单、平凡。但勒让得苦苦思索40年，却从来没有想到过它。科学史上并不乏这样的例证“优美、简单、深刻、富有成果的思想，需要的并不是知识和经验的单纯积累，不是深思熟虑的推理，不是对研究题材的反复咀嚼，需要的是一种能够穿透一切障碍深入问题根的非凡的洞察力，这大概就是人们所说的天才吧。“倒过来”的想法像闪电一样照彻了这一题材的奥秘，凭借这一思想，尼尔斯·阿贝尔高屋建瓴，势如破竹地推进他的研究。他得出了椭圆函数的基本性质，找到了与三角函数中的π有相似作用的常数K，证明了椭圆函数的周期性。他建立了椭圆函数的加法定理，借助于这一定理，又将椭圆函数拓广到整个复域，并因而发现这些函数是双周期的，这是别开生面的新发现；他进一步提出一种更普遍更困难类型的积分——阿贝尔积分，并获得了这方面的一个关键性定理，即著名的阿贝尔基本定理，它是椭圆积分加法定理的一个很宽的推广。至于尼尔斯·阿贝尔积分的反演——阿贝尔函数，则是不久后由伯恩哈德·黎曼（B.Riemann，1826－1866）首先提出并加以深入研究的。事实上，阿贝尔发现了一片广袤的沃土，他个人不可能在短时间内把这片沃土全部开垦完毕，用埃尔米特（Hermite）的话来说，“阿贝尔留下的后继工作，够数学家们忙上五百年”。阿贝尔把这些丰富的成果整理成一长篇论文《论一类极广泛的超越函数的一般性质》。此时他已经把gaussian置诸脑后，放弃了访问哥延根的打算，而把希望寄托在法国的数学家身上。他婉辞了克雷勒劝其定居柏林的建议后，便启程前往巴黎。在这世界最繁华的大都会里，荟萃着像奥古斯丁-路易·柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、勒让得、皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（P.S.LapLace，1749－1827）、傅立叶（I.Fourier，1768－1830）、泊松（S.D.西莫恩·泊松，1781－1840）这样一些久负盛名的数字巨擘，尼尔斯·阿贝尔相信他将在那里找到萧特知音公司。

设为一幂级数，其收敛半径为 R。若对收敛圆（模长为 R的复数的集合）上的某个复数，级数收敛，则有: 。

若收敛，则结果显然成立，无须引用这定理。

例子和应用

阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知收敛级数。方法是通过在级数每项后加上项，将问题转换为幂级数求和，最后再计算 x趋于1 时幂级数的极限。由阿贝尔定理可知，这个极限就是原级数的和。

1. 为计算收敛级数，设

于是有

2. 为计算收敛级数 ，设

因此有

参考资料