更新时间：2023-08-06 19:04
三角函数（Trigonometric functions），又叫圆函数、角函数或测角函数，基本初等函数之一，三角函数建立在三角形的边和角之间关系的基础上，将直角三角形的内角和它的两边的比值相关联，亦可以用单位圆的各种有关线段的长来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，是最简单的周期函数之一，常作为研究纯粹数学的周期性的工具。数学分析上，周期函数三角函数亦定义为无穷级数或特定微分方程的解，它们的取值是任意实数值， 并允许将正弦函数和余弦函数的域扩展到整个复平面，也将其他三角函数的域延伸到复平面（从中删除一些孤立点），因此取值也可以是复数值。
三角函数的早期研究可以追溯到古代，但现代使用的三角函数是在中世纪发展起来的。公元前二世纪的喜帕恰斯和托密勒为世界上第一张正弦表的创造做出贡献，第一张弦表发表之后余弦表、正切表相继而出，十八世纪艾萨克·牛顿、莱昂哈德·欧拉等数学家对三角函数进行分析学上的研究，定义三角函数为无穷级数。
常见的三角函数包括正弦曲线函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数等其他的三角函数。其中，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个三角函数中的每一个都有一个相应的反函数（称为反三角函数）。三角函数之间可以相互换算，通常称为三角恒等式，包括诱导公式、二倍角公式、三倍角公式、降幂公式等。
三角函数一般用于计算三角形中未知边的长度和未知的角度，在导航、工程学以及物理学等方面都有广泛的用途。在数学中，还有一类与常见的三角函数（或圆函数）类似的函数，通常称为双曲函数（或类三角函数），最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh和双曲余弦函数cosh，进而推导更多双曲函数。
三角函数的早期研究可以追溯到古代，公元五世纪到十二世纪，印度数学家首先对三角学做出贡献。“三角学”，英文trigonometry，法文trigonometrie，德语Trigonometrie，都来自拉丁文trigonometria。现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用trigonometry这个词的是德国数学家皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版的著作《三角学:解三角学的简明处理》中，创造了这个新词。它源于希腊文τριγωυου(三角学)和μετρειυ(测量)，原义为三角形的测量，或者解三角形。当时的三角学没有形成一门独立的科学，而是依附于以观测太阳和星星为目标的天文学。
三角函数的奠基人是古希腊学者喜帕恰斯（公元前180-125年），他被称为“三角学之父”。他按照巴比伦人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同）。他用既定的弧度，计算出对应的弦的长度数值，这些数值和现代的正弦函数是等价的，喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦曲线来描述球面的梅涅劳斯定理。古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的克罗狄斯·托勒密时代达到了高峰，托勒密（公元前90-165）在《数学汇编》（Syntaxis Mathematica）中计算了36度角和72度角的正弦值，计算和角公式和半角公式的方法，以及0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值。古希腊文化传播到古印度后，古印度人对三角术进行了进一步的研究。公元五世纪末的数学家阿耶波多提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦曲线的方法，也使用了余弦和正割。他在计算弦长时使用了不同的单位，重新计算了0到90度中间隔三又四分之三度（3.75°）的三角函数值表。但古印度的数学与当时的中国一样，只停留在计算方面，缺乏系统的定义和演绎的证明。
三角学中“正弦”和“余弦”的概念是由印度数学家首先引进的，他们使用数学家阿耶波多提出的方法造出了比克罗狄斯·托勒密更精确的正弦表，把半弦与全弦所对弧的一半相对应，以此造出“正弦表”。
到九世纪，伊斯兰教数学中已经知道了目前使用的所有六个三角函数，除了正弦（取自印度数学）外，其他五种现代三角函数都是由波斯和阿拉伯数学家发现的，包括余弦、正切、余切、正割和余割。阿拉伯人采用了古印度人的正弦定义，但他们的三角学却直接继承于古希腊。阿拉伯天文学家引入了正切和余切、正割和余割的概念，并计算了间隔10分（10′）的正弦曲线和正切数值表。到公元十四世纪，阿拉伯人将三角计算的算术方式代数化为三角学从天文学中独立出来，成为一门独立的学科奠定了基础。
进入十五世纪后，阿拉伯数学文化开始传入欧洲。欧洲商业的兴盛，加大航行、历法测定和地理测绘学中对三角学的需求。在翻译阿拉伯数学著作的同时，欧洲数学家开始制作更详细精确的三角函数值表。尼古拉·哥白尼的学生乔治·约阿希姆·瑞提克斯制作出间隔10秒（10″）、有9位精确值的正弦表，并改变正弦的定义，将原来称弧对应的弦长是正弦改为将角度对应的弦长称为正弦。
真正把三角学作为数学的一个独立学科加以系统叙述的，是德国数学家约翰▪谬勒，雷基奥蒙坦纳斯是他的笔名，他是十五世纪最有声望的德国数学家，生于哥尼斯堡，年轻时从事欧洲文艺复兴时期作品的收集和翻译工作，并出版古希腊和阿拉伯著作。他创造了sine（正弦）一词，1464年，他以雷基奥蒙坦纳斯的名字发表了《论各种三角形》，书中他将各种书上散的三角学知识，进行系统综合，成为三角学在数学上的一个分支。
十六世纪后，数学家开始将古希腊有关球面三角的结果转化为平面三角定理。弗朗索瓦·韦达根据托勒密王朝的结果总结出对应的平面三角形式，还尝试计算多倍角正弦的表达方式。
secant（正割）及tangent（正切）为丹麦数学家托马斯·芬克首创，最早见于他的著作《圆几何学》。cosecant（余割）为锐梯卡斯所创，最早见于他于1596年出版的《宫廷乐章》。cosine（余弦）及余切（余切）最早在1620年伦敦出版的他所著的《炮兵测量学》中出现，英国人根日尔首先使用。1626年，阿贝尔特·格洛德最早推出简写的三角符号：“sin”“tan”“sec”。1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：“cos”“cot”“csc”。
十八世纪开始，随着解析几何等分析学工具的引进，数学家们开始对三角函数进行分析学上的研究。艾萨克·牛顿在1669年的《分析学》一书中给出了正弦曲线和余弦函数的无穷级数表示，詹姆斯·格列高里进一步提出正切等三角函数的无穷级数。戈特弗里德·莱布尼茨在1673年左右也独立得到了这一结果。莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707年-1783年）的《无穷小量分析引论》中定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，在1748年经过数学家欧拉的引用之后，函数符号成为通用的符号。
我国古代没有关于角的函数概念，只用勾股定理解决三角学范围内的一些实际问题。据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为“重差术”。
三角学输入中国，开始于明崇祯4年（公元1631年），邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，这是我国第一部编译的三角学，它作为历书的一部份呈献给朝廷。在《大测》中，首先将正弦译为“正半弦”，简称“正弦”，这就成了“正弦”一词的由来。同年徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面三角和球面三角的论述。1653年，薛风与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以“三角”取代“大测”，确立了“三角”名称。1877年，华煦等人曾探讨过三角级数展开式等问题。二十世纪后，现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等。
sine一词来源于拉丁语sinus，意思是“弯曲；海湾”，在12世纪将Al-Battani和Al-Khwārizmī的作品翻译成中世纪拉丁语时，被选为阿拉伯语单词的翻译，意思是“口袋”或“折叠”。印度人称连结弧的两端的弦为“吉瓦（jiba）”，是弓弦的意思；称线段的一半为“阿尔哈吉瓦”。后来“吉瓦”这个词译成阿拉伯语时被误解为“弯曲”“凹处”，阿拉伯语是 “dschaib”。十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了“sinus”。
“正切”一词来自拉丁语的正切，意思是“触摸”，因为线接触单位半径的圆，而割线则源于拉丁语的割线——“切割”——因为线切割圆。
前缀“co-”（在“余弦”“余切”“余弦”中）出现在Edmund Gunter的佳能 triangulum（1620）中，该书将余弦定义为正弦补角（补角的正弦）的缩写，并以类似的方式定义余切。
如图（a）所示，在中，，则的定义如下表
将直角放入直角坐标系中，使点A与原点O重合， AC在r轴正半轴上，如图( b )所示，设点 P （即B点）坐标为（x，y)，r是角终边上的点，点P到原点O的距离= ，于是三角函数定义可写为sinA=,cosA=,tanA=。
一般地，设是平面直角坐标系中的一个任意角，点 P ( x , y ）是角终边上的任意点，点 P 到原点 O 的距离 =\u003e0，如图（c）所示，那么角的三角函数分别定义为
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数;
正割函数;
余割函数。
当角的终边在 y 轴上时，，终边上任意点的横坐标,此时和均无意义；当有的终边在 r 轴上时，，终边上任意的纵坐标 ，此时 和均无意义。除上述情形外，对于任意角，三角函数均有意义，由此而得定义域。
在微积分和数学分析中，三角函数通常被抽象地视为实数或复数的函数，而不是角度。事实上，函数sin和cos可以通过幂级数定义为所有复数的指数函数，也可以定义为给定特定初始值的微分方程的解（见下文），而无需参考任何几何概念。其他四个三角函数（tan、cot、sec、csc）可以定义为sin和cos的商和倒数，除非分母中出现零。对于真实的自变量，如果自变量被视为以弧度给出的角度，则可以证明这些定义与初等几何定义一致。此外，这些定义产生了导数的简单表达式和三角函数的不定积分。因此，在初等几何之外的设置中，弧度被视为描述角度测量的数学自然单位。
当使用弧度（rad）时，角度为其所对的单位圆的弧长：单位圆上长度为1的弧所对的角度为1 rad（≈57.3°），整圈（360°）为2π（≈6.28）rad的角度。对于实数x，符号sin x、cos x等指的是在x rad角度下评估的三角函数值。如果使用度单位，则必须显式显示度符号（例如，sin x°、cos x°等）。使用此标准表示法，三角函数的自变量x满足关系x=（180x/π）°，因此，例如，当我们取x=π时，sinπ=sin 180°。这样，度符号可以被视为一个数学常数，使得1°=π/180≈0.0175。
单位圆是以平面直角坐标系的原点O为中心的半径为1的圆。直角三角形定义允许为0和弧度（90°）之间的角度定义三角函数，而单位圆定义允许三角函数的域扩展到所有正实数和负实数。将射线从x轴正半部分的方向逆时针旋转角度θ，得到该射线（见图）与单位圆的交点点A，再通过将射线延伸到与和相交分别得到B点、C点。这些点的坐标值以以下方式给出了θ的任意实数的三角函数的所有现有值。三角函数cos和sin分别被定义为点A的x和y坐标值，即
正弦和余弦是唯一的可微函数，使得
将商规则应用于将正切定义为正弦与余弦的商，可以得到正切函数验证
将微分方程应用于系数不确定的幂级数，可以推导出正弦函数和余弦函数的泰勒级数系数的递推关系。这些递推关系很容易求解，并给出级数展开式
其它级数有
其中，Un，第n个上/下数字，Bn，第n个伯努利数，
利用三角函数定义，可得到下列特殊角的三角函数值。
以上数据来源于
另外，还有一个角与黄金分割有关。其正弦值的二倍就是黄金分割比，这个角的大小是。
设角的终边上任意点 P ( x , y ), ，由三角函数定义，有
，
，
，
，
所以得到同角三角函数的基本关系:
(1）倒数关系：
(2）商数关系：
(3）平方关系：
(1）已知角的一个三角函数值，可利用平方关系求相应一个同角的三角函数值，再利用商数关系、倒数关系求出其他的同角三角函数值。
(2）利用同角三角函数基本关系化简三角式和证明三角恒等式。
(1）正弦函数和余割函数的符号仅与直角坐标系中纵坐标 y 有关，如图(1)所示；
(2）余弦函数和正割函数的符号仅与直角坐标系中横坐标 x 有关，如图(2)所示；
(3）正切函数和余切函数的符号与直角坐标系中横坐标 x 和纵坐标 y 均有关，如图(3)所示。
(1）周期函数的定义：一般地，对于函数。如果存在一个非零的常数 T ，对于任意 ，均有 ，并且有 ,则称 为周期函数，常数 T 称为这个函数的一个周期，在所有的周期中，如果存在一个最小的正数，那么就称这个最小的正数为函数最小正周期．例如，正弦函数，对任意，恒有，并且，从而就称是正弦函数的周期，而中的最小正数2π是正弦曲线函数的最小正周期。习惯上，周期就是指最小正周期。
（2）周期函数图像：若 的最小正周期是 T ．根据周期函数定义，在长度为 T 的相邻区间上，图像相同，即图像每隔 T 重复一次。
（3）周期的计算方法：
(1)图像
列表如下
通过五点法作图A
(2)图像
由周期为元，得图像B
的性质如下：
(1）有界性：的值域为［-1,1]，当时， y 取最大值 ；当时， y 取最小值。
(2）周期性：是以为周期的周期函数。
(3）奇偶性： 是函数奇偶性。
(4）单调性： 在区间上是增函数；在上是减函数。
(1)图像
列表如下
通过五点法作图C
(2)图像
由周期为，得到图像D
的性质如下：
(1）有界性： 的值域为［-1,1]，当时， y 取最大值；当时， y 取最小值。
(2）周期性： 是以为周期的周期函数。
(3）奇偶性： 是函数奇偶性。
(4）单调性： 在区间上是增函数；在区间上是减函数。
的图像是的图像向左平移个单位而得的；的图像是的图像向右平移个单位而得的。
(1)的图像
列表如下
描点、连线作图E
(2) 的图像
已知周期为，得图像F
的性质如下：
(1）有界性： 的值域为或实数集 R ，正切函数值既无最大值也无最小值。
(2）周期性： 是以为周期的周期函数。
(3）奇偶性：是函数奇偶性。
(4）单调性： 在区间上是增函数。
,性质如下：
(1) 有界性： 值域为或实数集 R ，余切函数既无最大值也无最小值。
(2）周期性： 以为周期的周期函数。
(3）奇偶性：函数奇偶性。
(4）单调性：在区间上是减函数
性质如下：
(2）周期性： 以为周期的周期函数。
(3）奇偶性：偶函数。
(4）单调性：在区间上是增函数;在区间上是减函数。
性质如下：
(2）周期性： 以为周期的周期函数。
(3）奇偶性：函数奇偶性。
(4）单调性：在区间上是增函数;在区间上是减函数。
正弦曲线函数的定义域为R，值域为[-1,1]，当且仅当时，取得最大值1;当且当且仅当时，取得最大值1。
余弦函数的定义域为R，值域为[-1,1]，当且仅当时，取得最小值一1;当且仅当时，取得最小值一1。
三角函数值域或最值的求解方法：
(1）直接利用 sinx , COSx 的值域求出。
(2）化为的形式，确定的范围，据正弦函数单调性推函数的值域（最值）。
(3）把 sinx 或 cosx 看作一个整体，转化为二次函数，求在给定区间上的值域（最值）问题。
三角函数是周期性的，因此它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，所以严格地说，它们没有反函数。然而，在三角函数单调的每个区间上，可以定义反函数，这将反三角函数定义为多值函数。要定义一个真正的逆函数，必须将域限制在一个区间内，其中函数是单调的，因此从这个区间到函数的图像是双射的。通常，反三角函数在函数名称或其缩写之前用前缀“arc”表示。
以上数据来源于
的奇数倍+的三角函数，其绝对值与三角函数的绝对值互为余函数。的偶数倍+的三角函数与的三角函数绝对值相同。即“奇余偶同，奇变偶不变”。
将看做锐角，按所得的角的象限角，取三角函数的符号。即“象限定号，符号看象限”或“奇变偶不变，符号看象限”。
(1)-、、、等于的同名函数值（=x2,，其中2、4都是偶数），其符号是把看作锐角时原函数在相应象限内的符号；
(2)的三角函数值等于的相应余函数值（，其中1、3都是奇数），其符号是把看作是锐角时，原函数在相应象限内的符号。
利用诱导公式求任意角的三角函数时，一般可按下面的步骤进行：
(1）若已知角为负角，可利用公式先将此负角的三角函数化为正角的三角函数。
(2）当已知角大于360°时，可利用公式先将此角的三角函数化为0°到360°间角的三角函数。
(3）当已知角为90°到360°间的角时，可利用上述公式把此角的三角函数化为锐角的三角函数。
(4）查三角函数值表或按照上述推导方法进行推导。
的诱导公式。
解：已知为正角、锐角，利用推导方式进行推导，
定名，是的奇数倍，所以应取余函数；定号，将看做锐角，那么是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负，所以。
依据二倍角公式可变形为
其中，
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的相等且等于外接圆直径，即在中，，为外接圆的半径，则
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题。
(1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。
(2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而再求其他的边和角。
三角函数正弦定理可用于求得三角形的面积：
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍，即在中，，则
或表示为：
在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以
由此可知余弦定理是勾股定理的推广。
余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。
利用三角函数的科学领域包括：声学、建筑、天文学、制图、土木工程、地球物理学、晶体学、电机工程学、电子、土地测量和大地测量学、许多物理科学、机械工程、机械加工、医学成像、数论、海洋学、光学、药理学、概率论、地震学、统计学和视觉感知等。这些领域涉及三角学并不意味着需要三角学的知识才能了解它们，相反，没有三角学就无法理解这些领域中的一些事情。
例如，音乐教授可能对数学一无所知，但可能知道毕达哥拉斯是已知的最早对音乐数学理论做出贡献的人。在乐理的情况下，三角学的应用与毕达哥拉斯斯开始的工作有关，毕达哥拉观察到，如果两根不同长度的琴弦都是一个共同长度的小整数倍，那么拨动两根不同长度琴弦发出的声音就是辅音。振动弦的形状和正弦曲线函数的图形之间的相似之处不仅仅是巧合。在海洋学中，某些波浪的形状与正弦函数的图形之间的相似性也并非巧合。在其他一些领域，包括气候学、生物学和经济学，也有季节性。对这些函数的研究通常涉及正弦和余弦函数的周期性。
傅里叶级数，以18世纪和19世纪法国数学家和物理学家约瑟夫·傅里叶的名字命名。傅里叶级数在许多科学领域有着令人惊讶的多样性应用，特别是在涉及上述季节性周期的所有现象中，以及在波动中，因此在辐射、声学、地震学、电子中的无线电调制和电力工程的研究中。傅里叶级数也适用于数字压缩，即图像、音频和视频数据被压缩成更小的大小，这使得它们可以通过电话、互联网和广播网络进行传输。同时也适用于数字几何、等周问题、随机游动的递推、二次互易、中心极限定理、海森堡不等式。
傅里叶变换是一个比傅里叶级数更抽象的概念。傅里叶变换涉及积分而不是求和，在不同科学领域中使用。许多自然规律是通过将量的变化率与量本身联系起来来表达的。例如：人口的变化率有时与当前人口和当前人口达不到承载能力的数量成正比，这种关系被称为微分方程。通过这些信息，人们试图将人口表示为时间的函数，即试图求解微分方程。傅里叶变换可以用于将一些微分方程转换为代数方程，对于代数方程的求解方法是已知的。傅里叶变换有很多用途，在几乎任何遇到频谱、谐波或共振的科学上下文中，都有傅里叶变换或傅里叶级数的运用。
智力有时被认为是按照钟形曲线分布的。曲线下大约40%的面积在100到120之间，相应地，大约40%的人口在智商测试中得分在100到120之间；曲线下近9%的面积在120到140之间，相应地，大约9%的人群在智商测试中的得分在120到140之间。类似地，许多其他事情都是按照钟形曲线（统计学上叫正态分布）分布的，包括许多物理测量中的测量误差。“钟形曲线”无处不在是有理论原因的，它涉及傅里叶变换，因此也涉及三角函数，这是傅里叶变换在统计学中的各种应用之一。