更新时间：2024-09-20 15:05
在抽象代数中，一个域扩张（通常记作L/K）被称作代数扩张，当且仅当每个L的元素都是在K上代数的，即：满足一个系数布于K的非零多项式。反之则称超越扩张。
抽象代数是描述代数类型的一个术语，与近世代数和一般代数同义。它是从本世纪20年代中期发展起来的，并已成为现代数学的基本用语。以前的代数是高度计算性的，并且只限于研究一般以实数和复数为基础的特定数系。而抽象代数与之相反，它是概念性的、公理化的，讨论的是非特定的任意元素集合的系统以及满足已规定的若干公理的某些合成法。抽象代数讨论若干重要的代数结构，诸如群、环、格等，这种结构由一集合S构成，它的元素并未指定其性质，且在S上赋予了若干个有限重的合成法。如r为一正整数，一个r重合成法就是使S中任意r个元的组a1，a2，…，ar对应于S中唯一的元ω(a1，a2，…，ar)。
在代数结构的研究中，相当大的一部分可以用统一的方法来开展，而不必限定特殊的结构。但抽象代数较深的方面却要求对各个系的特殊化，其多样性在很大程度上是由于它们可应用于数学的其它领域及物理学、化学等，因而对代数结构的一般研究也称为代数论，其基本概念有同态、同构等。
抽象代数有较强的包括新学科的能力，例如同调代数在数论和群论中都有重要的应用，同调代数的产物——范畴理论已在整个数学领域有所应用。
域扩张是域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F。此时，K可以看成F上的向量空间研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。
若域E是F的扩域，K是E的扩域，则称E是域扩张K/F的中间域。若K/F是域扩张，S是K的子集，且F(S)是K的含F与S的最小子域，称F(S)为F添加S的扩域。当S={α1，α2，…，αn}是有限集合时，F(α1，α2，…，αn)称为添加α1，α2，…，αn于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张).它由一切形如：
f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)
的元组成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多项式且：
g(α1，α2，…，αn)≠0.
由于这个原因，当F(α1，α2，…，αn)关于F的超越次数≥1时，F(α1，α2，…，αn)也称为F上的代数函数域.当S={α}时，称F(α)为F的单扩张域，也称本原扩域.F的有限代数扩域K是单扩域的充分必要条件是，扩域K与基域间存在有限个中间域。这是施泰尼茨(Steinitz，E.)证明的。
设有域扩张L/K，L可以看作是K上的向量空间，将其维度称作这个扩张的次数，记作[L:K]。有限次数的扩张（简称有限扩张）都是代数扩张；反之，给定一个代数扩张L/K，则L里的任一元素α生成的子扩张K(α)/K都是K的有限扩张。但代数扩张本身并不一定是有限扩张，一个代数扩张可表作有限子扩张的归纳极限。
在一个代数扩张L/K中，L里的每个元素α都是某个多项式f(X)的根；这些多项式中次数最低者称作α的最小多项式（通常要求领导系数等于一，以保证唯一性）。最小多项式总是不可约多项式。若f(X)不可约，则商环L := K[X]/(f)是K的一个域扩张，[L:K] = deg(f)，而且变元X的象是在f在L中的一个根，其最小多项式正是f。通过这种构造，我们可抽象地加入某个多项式的根。例如R[X]/(X^2+1)不外就是复数域C。当在L中分解成一次因子的积，则称f在L中分裂。根据上述构造，总是可以找到一个够大的代数扩张K'/K使得f分裂；K'里满足此性质的最小子扩张称作f的分裂域，f的任两个分裂域至多差一个K上的同构（即：一个限制在K上为恒等映射的环同构）。
一个代数扩张被称作正规扩张，当且仅当它满足下述三个等价条件之一：固定代数闭包Kalg，任何K上的（即在K上是恒等映射的）域嵌入σ: L → Kalg，都有σ(L) = L。存在一族在L上分裂的多项式(f_i)_{i∈I}⊂K[X]，使得L/K是在K中添加它们的根生成的域扩张。K[X]中任何不可约多项式若在L里有根，则在L里分裂（全部的根都在L里面）。
x^2+1 在R上的分裂域是C。
x^3+2 在Q上的分裂域是Q(e^(2/3πi), ∛2)。
(x^2-2)(x^2-3) 在Q上的分裂域是Q(√2, √3)=Q(√2+√3)。
Q(√2)/Q 是正规域扩张， Q(∛2)/Q却不是，因为后者并没有包括x^3-2的所有根，欠了∛2e^(2/3πi), ∛2e^(-2/3πi)。
设L/K为代数扩张，如果α的最小多项式没有重根，则称α可分（重根的存在性与域扩张的选取无关，可分性等价于(f, f') = 1，这可以直接在K中计算）。所有可分元素形成一个中间域K⊂F⊂L，[L:K]s := [Ls:K]称作L/K的可分次数。若Ls = L，则称L/K是可分扩张。当L/K是有限扩张时，定义不可分次数[L:K]i := [L:K]/[L:K]s。当基域的特征为零时，任何代数扩张都是可分的；任何有限域的扩张也都是可分的。
伽罗瓦扩张一个正规而且可分的代数扩张称作伽罗瓦扩张，此时将在上的自同构群记为Gal(L/K)，称作L/K的伽罗瓦群。就现代的观点，伽罗瓦理论研究的乃是与Gal(L/K)的子群的对应关系，此对应可用伽罗瓦连接抽象地概括。当伽罗瓦扩张L/K的伽罗瓦群是阿贝尔群时，此扩张称作是阿贝尔扩张。类域论为数域与局部域的尼尔斯·亨利克·阿贝尔扩张提供了精细的描述。
纯超越扩张是一类重要的超越扩张。设扩域K在F上的超越基为S，若K=F(S)，则称此域扩张为纯超越扩张，K为F的纯超越扩域。此时，K与F上一组未定元X的多项式环F[X]的分式域(商域)F(X)同构，其中X与S的基数相等。一般地，设K是F的任一扩域，若其超越基为S，则F(S)是F的纯超越扩域，K为F(S)的代数扩域。这样，一个域扩张可分成两种特殊的域扩张来研究，即FF(S)K。超越次数为1的纯超越扩张称为单超越扩张。