更新时间：2023-11-06 11:10
正交变换（英语：Orthogonal transformation），亦称全等变换或合同变换，是一类重要的线性变换，其定义为：设σ是欧氏空间V的线性变换，如果对V的任意向量α，有(σ(α),σ(α))=(α,α)，则称σ是V的正交变换，它具有多种等价定义。
正交变换的概念起源于19世纪中叶矩阵论的发展。矩阵一词最早由英国数学家西尔维斯特（J.J.Sylvester）于1850年使用，它作为表达一个线性方程组的简单记法，与线性变换和行列式紧密相关。1858年，英国数学家凯莱（A.Cayley）发表了论文《矩阵论的研究报告》，文中系统地阐述了关于矩阵的理论，定义了矩阵的一系列基本概念。随后，约当（Jordan）利用相似矩阵和特征方程的概念证明了矩阵经过变换可相似于一个“标准型”。1878年，德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frobenius）在讨论最小多项式问题过程中，引进矩阵的秩的概念，并在约当工作的基础上讨论了合同矩阵与合同变换（正交变换）。1908年，德国的数学家赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）通过把一般的三维空间和时间结合，提出了四维空间的概念，后又被称为“闵可夫斯基时空”。在四维空间中，正交变换可以推广成洛仑兹变换。
正交变换是欧氏空间中保持向量点积不变的一种线性变换，具有许多重要性质，如正交变换是可逆的且它的逆变换也是正交变换等。它可以分为旋转变换、平移变换和镜面反射两类，并都有相应的几何意义。其他线性变换如对称变换、酉变换和仿射变换等与正交变换密切相关。此外，正交变换在四维空间中可以推广成洛仑兹变换。在现实世界中，正交变换具有广泛的应用价值，如在海洋学中，可设计一种处理要素场的正交变换方法，可使得建立模型的有关计算变得简便。
设是欧氏空间的线性变换，如果对的任意向量，有，则称是的正交变换。
正交变换具有下述等价定义：
(1)是正交变换；
(2)保持向量的长度不变，即对于；
(3)如果是标准正交基，那么也是标准正交基；
(4)在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵，正交矩阵是满足的阶实矩阵。
在代数中，线性代数部分主要介绍行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、线性变换和欧几里得空间等概念，而正交变换的概念源于19世纪中叶矩阵论的发展。矩阵一词最早由英国数学家西尔维斯特（J.J.Sylvester）于1850年使用，它作为表达一个线性方程组的简单记法，与线性变换和行列式紧密相关。1858年，英国数学家凯莱（A.Cayley）发表了论文《矩阵论的研究报告》，文中系统地阐述了关于矩阵的理论，定义了矩阵的一系列基本概念，并证明了凯莱-哈密顿定理：任何方阵都满足它的特征方程。随后，约当（Jordan）利用相似矩阵和特征方程的概念证明了矩阵经过变换可相似于一个“标准型”，即现在所谓的约当标准型。
1878年，德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frobenius）对矩阵理论做了进一步的工作，在讨论最小多项式问题过程中，引进矩阵的秩的概念，并在约当工作的基础上讨论了合同矩阵与合同变换（正交变换）。1908年，德国的数学家赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）通过把一般的三维空间和时间结合，提出了四维空间的概念，后又被称为“闵可夫斯基时空”。在四维空间中，正交变换可以推广成洛仑兹变换。
首先证明(1)和(2)等价。如果是正交变换，那么，即，两边开方得。反过来，如果保持向量的长度不变，那么对任意，有，最后的等式展开得。再利用前两个等式，有，则说明是正交变换。
其次证明(1)和(3)等价。设是一组标准正交基，即，如果是正交变换，那么，即说明是标准正交基。反过来，如果是标准正交基，由与，得，因而是正交变换。
最后证明(1)与(4)等价。设在标准正交基的矩阵为，即。如果是标准正交基，那么可以看作由标准正交基到的过渡矩阵，因而是正交矩阵。反过来，如果是正交矩阵，那么就是标准正交基。
综上，等价性得证。
旋转变换，简称旋转，是欧式几何中的一种重要变换，是第一类正交变换。
定义：在欧氏平面上（欧氏空间中），让每一点绕一固定点（固定轴线）旋转一个定角，变成另一点，如此产生的变换称为平面上（空间中）的旋转变换。此固定点（固定直线）称为旋转中心（旋转轴），该定角称为旋转角。
旋转变换的逆变换也是旋转变换，两个绕同一点（同一轴线）的旋转变换的乘积仍是旋转变换。
例如，在平面直角坐标系中，若旋转中心为点，点绕旋转角后变成点，则平面上旋转变换的代数表达式为。
平移变换，简称平移或直移，是欧式几何中的一种重要变换，是第一类正交变换。
定义：在欧式平面上（欧式空间中），把每一点按照已知向量的方向移到，使，如此产生的变换称为平面上（空间中）沿向量的平移变换，简称平移。
例如，在平面直角坐标系中，若，点沿平移到点，则这个平移变换的代数表达式为。
平移变换的逆变换也是平移变换，两个平移变换的乘积仍是平移变换。
镜面反射亦称非特征正交变换，是第二类正交变换。
定义：设是欧氏空间，是的非零向量。对任意的，由决定的变换是满足的正交变换，称为由向量决定的镜面反射，其中为单位变换。若是维欧氏空间，则存在的标准正交基，使镜面反射在此基下的矩阵为。
(1）第一类正交变换的几何意义可看做在直角坐标系下的刚体运动，每一个刚体运动是一个旋转和平移之积。
如图1，变到，这时平面只须经受平移和旋转，即经过一次刚体运动就可到达。
(2）考虑第二类正交变换的几何意义，在维欧氏空间中，当取定一个单位向量后，由式：可定义镜面反射变换。如图2，可见镜面反射在几何上表示对以为法向量的一个平面的反射。
定义：设是欧氏空间的线性变换，若对中任意两个向量都有，则称是的一个对称变换。
与正交变换的关系：特征值为的对称变换为正交变换。
定义：设是酉空间的线性变换，若对任意的，则称为上的酉变换。设是维酉空间的酉变换，则存在的标准正交基，使关于此基的矩阵为对角形，且对角线上元素的模为。
设是维酉空间的线性变换，则下列命题等价：
（1）是酉变换；
（2）对任意的，都有；
（3）关于标准正交基的矩阵是酉矩阵；
（4）若是的标准正交基，则也是的标准正交基。
与正交变换的关系：正交变换是酉变换的一种特例，酉变换是复数域中的一种正交变换。
定义：设已确定了一个仿射坐标，用与表示点与两点的坐标，则变换
确定了一个把变到的点变换，如果，则称为仿射变换。
与正交变换的关系：仿射变换是一种更广泛的图形变换，平面上的正交变换（等距变换）是仿射变换的特殊情况。
四维空间是通过一般的三维空间和时间一起构成。由于这个概念是德国的数学家闵可夫斯基（Hermann Minkowski）于1908年提出的，所以又被称为“闵可夫斯基时空”。
洛仑兹变换是线性变换，而且也满足正交变换条件式，所以可把洛仑兹变换形式看成四维空间中的“转动”变换，是四维空间中的正交变换。三维空间中正交变换的一些公式和性质都可以形式上推广到洛仑兹变换中去。该四维空间中的第四个坐标为虚数，所以它是复四维空间。
洛伦兹变换的四维表示：
设系相对系以速度运动，则系与系中空时坐标的洛仑兹变换式为
；
，；
。
式中，。令作为四维空间中第四个坐标，即
于是，洛仑兹变换可表示为四维空间中系与系的坐标变换
，写成矩阵形式为或，式中，称为变换矩阵。用矩阵乘法可以证明，即。因此，为正交矩阵，而洛仑兹变换为四维空间中的线性正交变换。从形式上看，洛仑兹变换可以看成是四维空间中坐标系的“转动”。
由于仅讨论的情况，，而另两个坐标的变换式可改写为，
式中，。因此，在四维空间中，可做与重合，与重合。因而，洛仑兹变换可以形象地用平面上的坐标系转动来描述，如下图所示。当然，洛仑兹变换在四维空间中的几何表示纯粹是一种形式表示。因为是虚坐标，坐标系的旋转角度也是由所给的虚角。
光谱分析技术广泛应用于小麦、玉蜀黍属等作物叶绿素含量的反演，它具有无损和实时性好的优点。为了有针对性地检测目标含量，对采集的连续光谱通常采用数据降维的方法来获取检测参数，但由于在大田中光照环境、作物结构、内部养分元素关联等条件复杂，作物冠层采集的反射光谱与叶绿素含量之间关系难以简单解析。基于正交变换理论的格拉姆-施密特（Gram-Schmidt）算法，可建立高精度的大田冬小麦冠层叶绿素含量光谱学诊断模型，通过对光谱数据降维和有效敏感波长筛选，最终为冬小麦田间精细化管理提供依据。
随着数据挖掘技术的发展，人们意识到数据挖掘技术可能对隐私和信息安全构成威胁。为了保护数据挖掘中的隐私，防止收集的数据被误用，人们提出了多种解决方法。从传统的数据安全度评价标准出发，针对聚类分析时如何保护隐私的问题，有学者提出了一种基于正交变换的数据转换方法的算法。在隐私保护过程中，该算法不依赖于具体数据，能够很好地应用于大容量的数据库上，在应用正交变换保护数据中的隐私信息时可有效减少数据的运算量。
在关于海洋、气象等的分析和预报研究中，要素场的数字处理是重要的一环。数字处理已有许多不同的方法，虽各有特点，但存在一些共同的要求，例如：从数字上考虑，要保证作为因子的要素，经过处理后要具有显著的线性无关性，甚至要具有比原来更显著的线性无关性；又如，要有利于数字模型的建立和处理，要使得计算工作变得更加简便。
在考虑上述因素的基础上，通过泛函分析的有关思想方法，可设计一种处理要素场的正交变换方法，在对海洋、气象等要素场的数字处理上能满足共性要求，并可使处理过的因子彼此正交。