《数学物理方法（工科用）》是2012年出版的图书，作者是王培光、高春霞、刘素平、张群峰。本书结构层次清晰、篇幅简练、逻辑性强，适合作为高等院校的电气信息类等工科专业和物理类各专业的教材，也可供相关专业的教师和工程技术人员参考。

图书简介

本书是为工科院系本科工程数学课程而编写的。全书由复变函数论、积分变换、特殊函数与数学物理方程三部分内容组成，共16章，分别介绍复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数展开、留数理论及其应用、共形映射、傅里叶变换、拉普拉斯变换、特殊函数、数学物理定解问题、行波法与积分变换法、分离变量法、格林函数法及其他方法等内容.

本书兼顾数学理论的严谨性和物理背景的鲜明性，紧密结合电气信息类、物理类等专业知识，介绍数学理论在工程、物理等实际问题中的应用，增强了数学理论的应用性、实用性.

图书前言

前言

数学物理方法在物理学和电子信息、通信、自动化等很多工程技术领域中有广泛而重要的应用. 本书是专门为电气信息类等工科专业教学而编写的，力求在讲解基本数学理论的基础之上，紧密结合电气信息类、物理类等专业知识，增加介绍数学理论在工程、物理等实际问题中的应用，提高学生利用数学方法解决工程实际问题的能力，从而增强工程数学课程的应用性、实用性.

数学物理方法主要包括复变函数论、积分变换和特殊函数与数学物理方程等三部分内容.

复变函数论主要讨论解析函数的导数、积分、幂级数展开、留数理论以及共形映射等内容。二阶线性常微分方程的幂级数解法虽然是在解析函数的幂级数展开的基础上得到的，但是由于这部分内容在教材中的主要作用是得到特殊函数，所以我们将幂级数解法放到了特殊函数部分.

积分变换主要介绍傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换，重点是傅里叶变换和拉普拉斯变换。在介绍积分变换的基本概念和性质的基础之上，结合电气信息类等专业知识，突出了积分变换的工程应用.

特殊函数与数学物理方程主要介绍工程中非常重要的两类特殊函数——阿德利昂·玛利·埃·勒让德函数和贝塞尔函数以及三类典型数理方程的定解问题求解。这部分有两个特点：一方面，将特殊函数从数理方程部分分离出来并放在了数理方程之前，这样可以使球坐标系与柱坐标系中的分离变量法的内容更简洁、思想更突出、思路更流畅。另一方面，根据数理方程定解问题的类型将数理方程的求解方法进行了适当划分，比如将积分变换法与行波法放在一章，用来介绍无界区域上的定解问题；在分离变量法的介绍中，将简单的直角坐标和极坐标情形与复杂的曲面坐标即球坐标和柱坐标情形分开讨论，通过比较二者的相同之处使学生领悟分离变量法的本质.

本书结构合理、重点突出、条理清楚，便于学生更好地领会和掌握教材的重点和难点.

本书在编写过程中得到了河北大学电子信息工程学院和清华大学出版社的大力支持和帮助，在此表示衷心地感谢！

由于编者水平有限，书中难免有不妥和疏漏之处，恳请专家和读者不吝赐教.

编者

2012年8月

图书目录

第1篇复变函数论

第1章复数与复变函数

1.1复数的概念及其表示方法

1.1.1复数的概念

1.1.2复数的几何表示

1.2复数的基本代数运算

1.2.1复数的四则运算

1.2.2复数的乘幂与方根

1.3复变函数

1.3.1区域的相关概念

1.3.2复变函数的概念

1.3.3复变函数的几何意义

1.4复变函数的极限与连续性

1.4.1复变函数的极限

1.4.2复变函数的连续性

习题1

第2章解析函数

2.1复变函数的导数

2.1.1导数的概念

2.1.2求导法则

2.1.3微分的概念

2.1.4可导与连续的关系

2.1.5可导的必要条件：奥古斯丁-路易·柯西？伯恩哈德·黎曼（Cauchy?Riemann）条件

2.1.6可导的充要条件

2.2解析函数的概念及充要条件

2.2.1解析函数的概念

2.2.2解析函数的运算法则

2.2.3函数在区域内解析的充要条件与判别方法

2.2.4解析函数与调和函数的关系

2.2.5解析函数的构建

2.3初等解析函数

2.3.1单值函数

2.3.2多值函数

2.4解析函数的应用——平面场的复势

2.4.1用复变函数刻画平面向量场

2.4.2平面静电场

2.4.3平面稳定温度场

习题2

第3章复变函数的积分

3.1复变函数积分的概念与基本性质

3.1.1复变函数积分的概念

3.1.2复积分的存在条件与计算

3.1.3复积分的性质

3.2柯西定理

3.2.1单通区域柯西定理

3.2.2不定积分

3.2.3复通区域柯西定理

3.3柯西积分公式与高阶导数公式

3.3.1柯西积分公式

3.3.2高阶导数公式

*3.3.3柯西积分公式的几个推论

习题3

第4章解析函数的幂级数展开

4.1复数项级数与复变函数项级数

4.1.1复数项级数

4.1.2复变函数项级数

4.2幂级数

4.2.1幂级数的概念

4.2.2收敛圆与收敛半径

4.2.3幂级数的性质

4.3解析函数的泰勒级数展开

4.3.1泰勒展开定理

4.3.2泰勒展开方法

4.4解析函数的洛朗级数展开

4.4.1双边幂级数

4.4.2洛朗展开定理

4.4.3洛朗展开方法

4.5孤立奇点的分类与判别

4.5.1孤立奇点

4.5.2孤立奇点的分类

4.5.3极点与零点的关系

*4.6解析函数在无穷远点的性态

*4.7解析延拓

4.7.1解析延拓的概念

4.7.2唯一性定理

4.7.3解析延拓的方法

习题4

第5章 留数理论及其应用

5.1留数及留数定理

5.1.1留数的概念

5.1.2留数定理

5.1.3留数的计算

5.2应用留数定理计算实定积分

5.2.1形如

∫2π0R（cosx,sin x）dx

的积分

5.2.2形如

∫∞-∞f（x）dx

的积分

5.2.3形如，

∫∞0f（x）cosmxdx,

∫∞0g（x）sinmxdx（m\u003e0）

的积分

*5.2.4实轴上有奇点的情形

*5.3留数在力学上的应用举例

5.3.1电场内总电荷与功的计算

5.3.2机翼剖面的夏甫莱金升力公式

习题5

第6章共形映射

6.1共形映射的概念

6.1.1导数的几何意义

6.1.2共形映射的概念

6.2分式线性映射

6.2.1分式线性映射的概念

6.2.2分式线性映射的分解

6.2.3分式线性映射的性质

6.3唯一决定分式线性映射的条件

6.4几个初等函数所构成的映射

6.4.1幂函数

w=zn（n≥2为自然数）

6.4.2指数函数w=ez

6.5关于共形映射的几个一般性定理

*6.6共形映射的应用

6.6.1热传导问题

6.6.2电位分布问题

习题6

第2篇积 分 变 换

第7章傅里叶变换

7.1傅里叶级数

7.1.1周期函数的傅里叶展开

7.1.2奇函数与偶函数的傅里叶展开

7.1.3定义在有限区间上的函数的傅里叶展开

7.1.4复数形式的傅里叶级数

7.2傅里叶变换的定义及性质

7.2.1非周期函数的傅里叶展开问题

7.2.2傅里叶积分定理

7.2.3傅里叶变换的概念

7.2.4傅里叶变换的基本性质

7.3δ函数广义傅里叶变换

7.3.1δ函数的定义

7.3.2δ函数的导数

7.3.3δ函数的性质

7.3.4广义傅里叶变换

7.4傅里叶变换在频谱分析中的应用

7.4.1周期函数的频谱

7.4.2非周期函数的频谱

*7.5小波变换介绍

习题7

第8章拉普拉斯变换

8.1拉普拉斯变换的概念

8.1.1拉普拉斯变换的引入

8.1.2拉普拉斯变换的概念

8.1.3一些常用函数的拉普拉斯变换

8.1.4拉普拉斯变换存在定理

8.2拉普拉斯变换的性质

8.3拉普拉斯变换的反演

8.3.1部分分式反演法

8.3.2查表法

8.3.3卷积定理法

8.3.4利用留数计算反演积分法

8.4拉普拉斯变换的应用

8.4.1利用拉普拉斯变换求解线性导数(积分)方程的步骤

8.4.2拉普拉斯变换应用举例

*8.5z变换

8.5.1z变换与拉普拉斯变换的关系

8.5.2z变换的定义

8.5.3z变换存在定理

8.5.4z变换的性质

8.5.5z变换的应用

习题8

第3篇特殊函数与数学物理方程

第9章勒让德函数

9.1二阶线性齐次常微分方程的级数解

9.1.1二阶线性齐次常微分方程的常点与奇点

9.1.2方程常点邻域内的级数解定理

9.1.3方程正则奇点邻域内的级数解定理

9.2阿德利昂·玛利·埃·勒让德多项式的定义

9.2.1勒让德方程的本征值问题

9.2.2勒让德多项式的级数表示

9.2.3勒让德多项式的导数与积分表示

9.3勒让德多项式的性质

9.3.1勒让德多项式的母函数

9.3.2勒让德多项式的递推公式

9.3.3勒让德多项式的正交归一性

9.3.4广义傅里叶级数

9.4连带勒让德函数

9.4.1连带勒让德函数的定义

9.4.2连带勒让德函数的微分表达式

9.4.3连带勒让德函数的母函数

9.4.4连带阿德利昂·玛利·埃·勒让德函数的递推公式

9.4.5连带勒让德函数的正交归一性

9.4.6连带勒让德函数的广义傅里叶级数展开

习题9

第10章贝塞尔函数

10.1贝塞尔函数的定义

10.1.1贝塞尔方程的级数解

10.1.2三类贝塞尔函数

10.2贝塞尔函数的性质

10.2.1贝塞尔函数的图形与特殊值

10.2.2贝塞尔函数的递推公式

10.2.3贝塞尔函数的母函数

10.2.4贝塞尔方程的本征值问题

10.2.5贝塞尔函数的正交归一性

10.2.6广义傅里叶级数

10.3虚宗量贝塞尔函数

10.3.1虚宗量贝塞尔方程

10.3.2虚宗量贝塞尔函数的表达式

10.3.3虚宗量贝塞尔函数的性质

10.4球贝塞尔函数

10.4.1球贝塞尔方程

10.4.2球贝塞尔函数的表达式

10.4.3球贝塞尔函数的性质

习题10

第11章数学物理定解问题

11.1数学物理方程的导出

11.1.1波动方程

11.1.2热传导方程

11.1.3稳定场方程

11.2定解条件与定解问题

11.2.1初始条件

11.2.2边界条件

11.2.3定解问题及其适定性

11.3数学物理方程的分类

11.3.1二阶线性偏微分方程

11.3.2含两个自变量方程的分类

11.3.3含两个自变量方程的化简

11.3.4线性偏微分方程的叠加原理

习题11

第12章行波法与积分变换法

12.1一维波动方程的让·达朗贝尔解

12.1.1达朗贝尔（D?Alembert）公式

12.1.2解的物理意义

12.1.3定解问题的整体性

12.2傅里叶变换法求解定解问题

12.3拉普拉斯变换法求解定解问题

习题12

第13章分离变量法

13.1齐次泛定方程的分离变量

13.1.1一维波动方程的分离变量

13.1.2一维热传导方程的分离变量

13.1.3二维矩形区域内拉普拉斯方程的分离变量

13.1.4二维圆形区域内拉普拉斯方程的分离变量

13.2非齐次泛定方程的分离变量

13.2.1本征函数展开法

13.2.2冲量定理法

13.2.3特解法

13.3非齐次边界条件下的分离变量

13.4斯图姆？约瑟夫·刘维尔（Sturm?Liouville）本征值问题

13.4.1斯图姆？刘维尔型方程

13.4.2斯图姆？刘维尔本征值问题的一般提法

13.4.3斯图姆？刘维尔本征值问题的一般性质

习题13

第14章正交曲面坐标系中的分离变量法

14.1拉普拉斯算符在球坐标系和柱坐标系中的表达式

14.1.1球坐标系中拉普拉斯算符的表达式

14.1.2柱坐标系中拉普拉斯算符的表达式

14.2球坐标系中的分离变量

14.2.1拉普拉斯方程

的分离变量

14.2.2波动方程

与热传导方程

的分离变量

14.2.3亥姆霍兹方程

的分离变量

14.3柱坐标系中的分离变量

14.3.1拉普拉斯方程

的分离变量

14.3.2亥姆霍兹方程

的分离变量

习题14

第15章格林函数法

15.1泊松方程的格林函数法

15.1.1第一边值问题（狄利克雷问题）

15.1.2第二边值问题

15.1.3第三边值问题

15.2用镜像法和冲量定理法求格林函数

15.2.1用镜像法求格林函数

15.2.2用冲量定理法求格林函数

15.3格林函数的一般求法

习题15

第16章其他方法介绍

16.1保角变换法

16.1.1保角变换及其性质

16.1.2几种常用的保角变换

16.2变分法

16.2.1变分法的概念

16.2.2变分问题与微分方程的求解

习题16

附录

附录A阿德利昂·玛利·埃·勒让德方程的级数解（9.2.7）和（9.2.8）在x=±1发散

附录BΓ函数（第二类欧拉积分）

附录C诺伊曼函数

附录D傅里叶变换函数表

附录E拉普拉斯变换函数表

附录Fz变换函数表

附录G高斯函数和误差函数

部分习题答案

参考文献

参考资料